Sempre que se faz necessário construir uma amostra de retornos, como em estudos de retornos de ações, surge o problema do elemento neutro, que deixa de ser o zero. Isso acontece porque a observação de dois elementos consecutivos, de magnitude idêntica em módulo mas com sinais invertidos (por exemplo, +50% e -50%) não é o zero. Observe um exemplo simples:
- Valor inicial: R$ 100,00.
- Valorização de 50%: R$ 150,00.
- Desvalorização de 50%: R$ 75,00.
Ou seja, a aplicação do efeito de +50% e -50% não retorna ao valor original. Como resolver este problema? A solução mais adequada, até onde consegui observar, seria a aplicação dos retornos logarítmicos.
A principal vantagem de usar retornos logarítmicos em amostras de retornos observados de ações é a propriedade da aditividade temporal. Diferente dos retornos simples, que exigem multiplicação para acumular ganhos, os logarítmicos podem ser somados de forma direta ao longo dos dias, meses ou anos (exemplo: retorno total = retorno1 + retorno2 + retorno3).
As três grandes vantagens que justificam seu uso incluem:
- Soma de períodos: facilita a modelagem estatística em séries temporais (prever volatilidade, usar machine learning etc.);
- Simetria de ganhos e perdas: em retornos simples, se uma ação cai 50% e depois sobe 50%, não voltamos ao valor inicial, como visto. Mas com o logaritmo, os movimentos de alta e baixa de mesma magnitude são simétricos (possuem apenas sinais opostos);
- Normalidade estatística: modelos financeiros clássicos, como o Black-Scholes ou o Método dos Mínimos Quadrados Ordinários assumem que as variáveis seguem uma distribuição normal. Os retornos logarítmicos têm distribuições estatísticas que se ajustam muito melhor a essas premissas.
Aqui cabe uma observação importante: embora sejam ideais para análise estatística e séries temporais, logaritmos não são aditivos entre ativos, o retorno de uma carteira não é a média ponderada dos log-retornos. Para calcular o ganho monetário ou o retorno de um portfólio, os retornos simples continuam sendo a melhor escolha prática.
Para calcular o retorno logarítmico, você precisa apenas do preço inicial e do preço final do ativo em um determinado período. A fórmula matemática base é:
Rt = ln (P_t / P_t-1)
Onde: ln é o logaritmo natural, P_t é o preço final atual, P_t-1 é o preço inicial (anterior).
Exemplo prático:
- Imagine que uma ação valia R$ 100,00 ontem (P_t-1) e hoje vale R$ 105,00 (P_t). Divida o preço final pelo inicial: 10,50 / 10,00 = 1,05;
- Aplique o logaritmo natural: ln (1,05) = aproximadamente 0,04879. Converta para porcentagem: o retorno logarítmico foi de 4,88% (enquanto o retorno simples seria de 5,00%).
Você pode automatizar esse cálculo facilmente usando a seguinte ferramenta no Excel: se o preço inicial está na célula A1 e o preço final na célula B1, use:
=LN ( B1 / A1 )
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